terça-feira, 19 de outubro de 2010
sexta-feira, 10 de setembro de 2010
quarta-feira, 8 de setembro de 2010
sábado, 14 de agosto de 2010
domingo, 11 de julho de 2010
Exercícios de P.G para as turmas dos 1º A e B
1- Das sequências, assinale aquelas que representam progressões geométricas:
a) (4, 12, 36, 108,...)
b) (-2, 8, -32, 128,...)
c) (3, 9, 15, 21,...)
d) (1, -1, 1, -1,1,...)
2- Qual é o 5º termo da P.G (2/9*, 4/3*, 8, ...)?
(*= fração 2 sobre 9 e 4 sobre 3)
3- Qual é o 10º termo da P.G (20, 10, 5,...)?
4- Qual é a razão de uma P.G em que o 1º termo é igual a 50(raiz quadrada de 2) e o 6º termo é 400?
5- Numa pequena cidadeum boato é espalhado da seguinte maneira:
1º dia: 5 pessoas ficam sabendo;
2º dia: 15 pessoas ficam sabendo;
3º dia: 45 pessoas ficam sabendo;
E assim por diante. Quantas pessoas ficaram sabendo do boato no 10º dia?
6- Quantos termos tem a P.G (2, 6, 18,..., 4374)?
7º Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G (4, -12, 36,...)
a) (4, 12, 36, 108,...)
b) (-2, 8, -32, 128,...)
c) (3, 9, 15, 21,...)
d) (1, -1, 1, -1,1,...)
2- Qual é o 5º termo da P.G (2/9*, 4/3*, 8, ...)?
(*= fração 2 sobre 9 e 4 sobre 3)
3- Qual é o 10º termo da P.G (20, 10, 5,...)?
4- Qual é a razão de uma P.G em que o 1º termo é igual a 50(raiz quadrada de 2) e o 6º termo é 400?
5- Numa pequena cidadeum boato é espalhado da seguinte maneira:
1º dia: 5 pessoas ficam sabendo;
2º dia: 15 pessoas ficam sabendo;
3º dia: 45 pessoas ficam sabendo;
E assim por diante. Quantas pessoas ficaram sabendo do boato no 10º dia?
6- Quantos termos tem a P.G (2, 6, 18,..., 4374)?
7º Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G (4, -12, 36,...)
Exercícios de P.A para as turmas do 1º A e B
1- Calcule o 20º termo da P.A(26,31,36,41,...)
2- Vamos dereminar a P.A que possui as seguintes caracteristicas: o 10º termo vale 16, e a soma do 5º com o 9º termo é igual a 2.
3- Assinale as sequências que representam pregressões aritiméticas:
a) (13, 11, 9, 7,...)
b) (0, 6, 11, 15,...)
c) (-4, -7, -10,...)
d) ( 0, 7, 14, 21,...)
4- Para preencher as vagas num vestibular, uma faculdade decidiu adotar o seguinte critério: na 1ª chamada são convocados 96 alunos. Na 2ª, 84 alunos. Na 3ª, 72 alunos e assim por diante.
a) Quantos alunos são convocados na 6ª chamadas?
b) Quantas chamadas há meste vestibular?
5- Numa P.A de razão -3, o 15º termo ´eigual a 7. Qual 1º termo?
6- Dada a P.A (5, 8, 11, ...) determina:
a) Seu termo geral.
b) o 20º termo.
7- O 8º termo de uma P.A é 15 e o 1º termo é igual a 1. Qual a razão dessa P.A?
2- Vamos dereminar a P.A que possui as seguintes caracteristicas: o 10º termo vale 16, e a soma do 5º com o 9º termo é igual a 2.
3- Assinale as sequências que representam pregressões aritiméticas:
a) (13, 11, 9, 7,...)
b) (0, 6, 11, 15,...)
c) (-4, -7, -10,...)
d) ( 0, 7, 14, 21,...)
4- Para preencher as vagas num vestibular, uma faculdade decidiu adotar o seguinte critério: na 1ª chamada são convocados 96 alunos. Na 2ª, 84 alunos. Na 3ª, 72 alunos e assim por diante.
a) Quantos alunos são convocados na 6ª chamadas?
b) Quantas chamadas há meste vestibular?
5- Numa P.A de razão -3, o 15º termo ´eigual a 7. Qual 1º termo?
6- Dada a P.A (5, 8, 11, ...) determina:
a) Seu termo geral.
b) o 20º termo.
7- O 8º termo de uma P.A é 15 e o 1º termo é igual a 1. Qual a razão dessa P.A?
Exercícios de sequência para as turmas dos 1º A e B do e. médio
1- Vamos determinar os cinco primeiros termos da sequência definida por: An = 3n² + 2.
n=1 >> A1 = 3 . 1² + 2 >> A1 = 5
n=2 >> A2 = 3 . 2² + 2 >> A2 = 14
n=3 >>
n=4 >>
n=5 >>
2- Consideramos a sequência definida por An = 3n - 16. Podemos descobrir o valor de A5 + A6.
3- Vamos construir a sequencia definida pelas relações:
A1 = 5
An +1 = An + 2
Determinaremos o 2º termo a partir do 1º termo, o 3º a partir do 2º e assim por diante. Para isso, basta atribuirmos valores pana n.
A1 = 5
4- A respeito da sequência definida por An = 2n + 7, determine:
a) O 20º termo
b) A soma de seus cinco primeiros termo.
5- Qual o 9º termo da sequência definida por An = 3n² - 2n + 1?
6- Seja a sequência definida por An = (-1)* + 3.
(Ps.: na lugar de * ponha a letra n)
a) Escreva seus dez primeiros termos.
b) Qual o seu 100º termo?
n=1 >> A1 = 3 . 1² + 2 >> A1 = 5
n=2 >> A2 = 3 . 2² + 2 >> A2 = 14
n=3 >>
n=4 >>
n=5 >>
2- Consideramos a sequência definida por An = 3n - 16. Podemos descobrir o valor de A5 + A6.
3- Vamos construir a sequencia definida pelas relações:
A1 = 5
An +1 = An + 2
Determinaremos o 2º termo a partir do 1º termo, o 3º a partir do 2º e assim por diante. Para isso, basta atribuirmos valores pana n.
A1 = 5
4- A respeito da sequência definida por An = 2n + 7, determine:
a) O 20º termo
b) A soma de seus cinco primeiros termo.
5- Qual o 9º termo da sequência definida por An = 3n² - 2n + 1?
6- Seja a sequência definida por An = (-1)* + 3.
(Ps.: na lugar de * ponha a letra n)
a) Escreva seus dez primeiros termos.
b) Qual o seu 100º termo?
Atividades valendo o ponto do bimestre
Durante a semana de prova, eu estarei recebendo a atividade que valerá o ponto do bimestre, portanto os alunos não devem esquecer de levar o caderno de matemática.
Dias das Provas Bimestrais do 2º Bimestre de Matemática
Dia 13 de julho (terça-feira)
Prova bimestral de matemática para as turmas do 9º D e E
Dia 14 de julho (quarta-feira)
Prova bimestral de matemática para a turma do 1º B do ensino médio
Dia 15 de julho (quinta-feira)
Prova bimestral de matemática para as turmas do 8º B e C, 9º A e B e 1º A do ensino médio.
Os alunos de todos os 9º resolver e estudar pela apostila. E os alunos dos 8º também.
Os alunos dos 1º A e B devem aguardar a postagem dos exercícios.
(Ps.: as apostilas se encontram na xerox)
Boas Provas...
Prova bimestral de matemática para as turmas do 9º D e E
Dia 14 de julho (quarta-feira)
Prova bimestral de matemática para a turma do 1º B do ensino médio
Dia 15 de julho (quinta-feira)
Prova bimestral de matemática para as turmas do 8º B e C, 9º A e B e 1º A do ensino médio.
Os alunos de todos os 9º resolver e estudar pela apostila. E os alunos dos 8º também.
Os alunos dos 1º A e B devem aguardar a postagem dos exercícios.
(Ps.: as apostilas se encontram na xerox)
Boas Provas...
domingo, 4 de julho de 2010
sexta-feira, 18 de junho de 2010
Resumo dos proxímos assusntos Pa e Pg.
30/06/2009 - 14:32
(ps.: quem perdeu o assunto atualizar-se)
Sequências
Definição: uma sequência numérica é uma sucessão de números, de acordo com um padrão pré-estabelecido.
Exemplo: sequência dos quadrados dos números naturais: (1, 4 ,9 16, 25…)sequência dos números ímpares: (1, 3, 5, 7, 9…)
Uma famosa sequência na matemática é a sequência de Fibonacci, que segue o seguinte padrão:
- o primeiro termo é igual a 1;- o segundo termo é igual a 1;- a partir do terceiro termo, cada termo é igual à soma dos dois anteriores. Assim, por exemplo, o terceiro termo será 1 + 1 = 2; o quarto termo será o terceiro mais o segundo, i.e., 2 + 3 = 5
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 47, 81, …) No geral, An = An-1 + An -2, onde An é o n-ésimo termo da sequência.
Exemplo 2: Seja a sequência numérica: A1 = 2 (A1 = primeiro termo); An = A(n – 1) + 2n. Assim, o segundo termo seria A1 + 2*2 = 1+ 4 = 5; o terceiro termo seria A2 + 2*3 = 5 + 6 = 11; o quarto termo seria A3 + 2*4 = 11 + 8 = 19 etc
(1, 5, 11, 19, …)
Progressões
Uma sequência é classificada de progressão quando um certo termo (excetuando-se o primeiro) é igual ao anterior mais (ou vezes) um número fxo, chamado de razão da progressão. As progressão são classificadas de
1. Progressão Aritmética (P.A);2. Progressão Geométrica (P.G)
1. P.A
Veja a sequência (1, 4, 7, 10, 13, …) Prestando atenção, podemos perceber que
4 = 1 +3; 7 = 4 + 3; 10 = 7 + 3; 13 = 10 + 3; … Cada termo pode ser calculado somando-se 3 ao termo anterior. Uma sequência que possui essa propriedade é classificada como progressão aritmética.O valor somado,3, é chamado de razão da progressão, geralmente denotada pela letra r. Essa razão pode ser um número positivo, negativo, ou até mesmo nulo. Nestes casos, as PA’s gerados são classificadas como crescentes, decrescentes e constantes, respectivamente. A PA do nosso exemplo inicial é crescente, pois r = 3 e 3 > 0. Já a PA (8 ,6, 4, 2, …) é decrescente, pois sua razão é igual a -2, e -2 < 0.Para construirmos uma PA, basta termos ou um termo e a razão ou dois termos, a partir dos quais neste caso podemos calcular o valor da razão. Vejamos os exemplos abaixo:
1 – Em uma PA crescente, o quarto termo vale 13 e a razão da PA vale 2. Qual será o valor do oitavo termo? E do segundo termo?
Basta pensarmos que a razão é a variação de um termo para outro. Do quarto termo para o oitavo “andaremos” quatro “casas”, ou seja, avançaremos quatro termos. Assim, devemos multiplicar a razão por 4, e somar 13 ao resultado (pois o quarto termo é igual a 13). Assim, A8 = A4 + 4r = 13 + 4*2 = 21.No segundo caso, queremos calcular o valor do segundo termo. Como do quarto termo para o segundo retrocedemos duas casas, devemos diminuir 13 de 2r. Então A2 = A4 – 2r = 13 – 2*2= 9
2 – Em uma PA, o sétimo termo vale 15 e o segundo vale 2. Qual o primeiro termo da PA?
Para decobrirmos o primeiro termo, devemos saber o valor da razão. Como sabemos o valor de dois termos,´isso será possível. Como? Ora, do segundo para o sétimo termo tivemos uma variação de cinco casas, e o aumento numérico dos termos foi de 13 (15 – 2). Como a razão é a varição de um termo para outro, basta então fazermos uma simples regra de três:
em 5 termos, houve um aumento de 13; em um termo, r
13 ———> 5r ———-> 1 então r = 13/5
Então o primeiro termo pode ser calculado por A1 = A2 – r = 2 – 13/5 = – 3/5.
Mais propriedades de uma P.A:
Para qualquer termo excetuando-se o primeiro e o último (este caso, se a P.A for finita), o valor de tal termo é a média aritmética entre seu antecessor e seu sucessor.
Exemplo: (1, 4, 7, 10,…) –> 4 = (1 + 7)/2; 7 = (4 + 10)/2; etc.
Soma dos n primeiros termos de uma P.A
Vejamos a sequência de números naturais (1,2,3,4,5,6,…), que representa uma P.A, cujo primeiro termo vale 1, e cuja razão vale 1 também.
a) Qual a soma dos seis primeiros termos?
Resp.: vejamos que: 1 + 6 = 7; 2 + 5 = 7; 3 + 4 = 7, i.e., termos equidistantes determinam somas iguais. Como temos seis termos, o total de somas será 6/2 = 3. Como cada soma vale 7, temos que1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 7 * 3 = 21
b) Qual a soma dos 12 primeiros termos?
Resp.: vejamos que 1 + 12 = 2 + 11 = 3 + 10 + 4 + 9 = 5 + 8 = 6 + 7 = 13. Como temos 12 termos, teremos 6 somas, de resultado 13. Então S = (12/2) * 13 = 6 * 13 = 78
No geral, a soma dos n primeiros termos de uma P.A vale S = (A1 + An) * n/2, onde A1 e An são o primeiro e último termo somados, respectivamente, e n é o número de termos somados.
Exemplo: Na PA (2, 5, 8, 11, …), qual será o valor da soma dos 10 primeiros termos?
Resp.: vejamos que a razão vale 5 – 2 = 3, e A1 = 2. Como de A1 para A10 andamos 9 casas, então A10 = 9r + A1 = 9*3 + 2 = 29. Como temos 10 termos, n = 10, e A1 + A10 = 2 = 29 = 31.
Então S = (2 + 29) * 10/2 = 31 * 5 = 155
Obs.: essa fórmula nos serve para somar não apenas do primeiro ao nésimo termo, como também de tal termo até outro.
Exemplo: usando a mesma PA (2,5,8,11,…), qual será a soma do sexto ao décimo segundo termo?
Do sexto ao décimo segundo termo há (12 – 6) + 1 = 7 termos. Somamos um à diferença entre 12 e 6 pois dessa forma estaríamos excluindo o sexto termo; para tê-lo, adicionamos 1. Então n = 7. Falta descobrirmos quanto vale o sexto e o décimo segundo termos. Como o quarto termo é 11, então sexto termo será 11 + 3 + 3 = 17. E o décimo segundo termo? A12 = 6r + A6 = 18 + 17 = 35.
Então S = (17 + 35) * 7/2 = 217.
Exercício: entre 200 e 400, quantos números há que, quando divididos por 11, deixam resto 7?
Resp.: primeiramente, precisamos descobrir qual é o primeiro termo. Dividamos 200 por 11, para começar. A divisão deixa resto 2. Entao 200 + 5 = 205 deixa resto 2 + 5 = 7 quando dividido por 11. Bingo! Achamos o primeiro termo. Como a divisão é sempre por 11, então a razão da P.A. será 11. Como os termos estão entre 200 e 400, precisamos descobrir o último termo. Dividamos 400 por 11. Deixa resto 4, então 400 + 3 = 403 deixa resto 7. Como 403 > 400, então o último termo dessa P.A será 403 – r = 403 – 11 = 392. Quantos termos há? Sabemos que An = (n – 1)*11 + A1, onde An é o último termo. Então 392 = 11(n – 1) + 205.187 = 11(n – 1) —> n – 1 = 17 assim n = 18. ou seja, 392 é o décimo oitavo termo. Assim há 18 números entre 200 e 400 que, quando divididos por 11, deixam resto 7.
Descobrindo quantos termos foram somados
Em uma P.A finita, cujo primeiro termo vale 3 e cuja razão vale 4, a soma dos seus n termos vale 105. Quantos termos tem essa P.A?
Solução: precisamos calcular o último termo. Já temos o primeiro, e a razão, então a(n) = a1 + (n – 1)x4
a(n) = 3 + 4(n – 1) = 3 + 4n – 4 = 4n – 1
S = (a1 + a(n)) x n/2 —> (3 + 4n – 1) x n/2 = (4n + 2) x n/2 = n(2n + 1) = 105
2n^2 + n = 105 —> 2n^2 + n – 105 = 0 [equação do 2º grau]
%delta = 1^2 – 4×2x(-105) = 1 + 840 = 841 —> n = [-1 +- sqrt(841)]/2×2
sqrt(841) = 29, e n deve ser natural, então n = [-1 + 29]/4 = 28 / 4 = 7
Resp.: esta P.A tem 7 termos
Dicas sobre questões com P.A:
Caso a questão diga: três termos estão em PA e sua soma vale x. Então temos três termos, a, b e c. Chamemos b o termo do meio. Então a é anterior a b, e c é posterior. Assim, a = b -r e c = b + r, sendo r a razão da P.A. Ao somarmos os três termos, temos que b + b – r + b + r = 3b –> Como agora só temos uma variável, descobrimos um dos três termos. Se soubermos a razão, descobrimos os outros dois termos; esta artimanha será muito útil quando estudarmos polinômios.
Se tivermos três termos de uma P.A, o termo central é a média aritmética dos outros dois
(1,4,7) –> 4 = 1/2 (1 + 7)
(ps.: quem perdeu o assunto atualizar-se)
Sequências
Definição: uma sequência numérica é uma sucessão de números, de acordo com um padrão pré-estabelecido.
Exemplo: sequência dos quadrados dos números naturais: (1, 4 ,9 16, 25…)sequência dos números ímpares: (1, 3, 5, 7, 9…)
Uma famosa sequência na matemática é a sequência de Fibonacci, que segue o seguinte padrão:
- o primeiro termo é igual a 1;- o segundo termo é igual a 1;- a partir do terceiro termo, cada termo é igual à soma dos dois anteriores. Assim, por exemplo, o terceiro termo será 1 + 1 = 2; o quarto termo será o terceiro mais o segundo, i.e., 2 + 3 = 5
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 47, 81, …) No geral, An = An-1 + An -2, onde An é o n-ésimo termo da sequência.
Exemplo 2: Seja a sequência numérica: A1 = 2 (A1 = primeiro termo); An = A(n – 1) + 2n. Assim, o segundo termo seria A1 + 2*2 = 1+ 4 = 5; o terceiro termo seria A2 + 2*3 = 5 + 6 = 11; o quarto termo seria A3 + 2*4 = 11 + 8 = 19 etc
(1, 5, 11, 19, …)
Progressões
Uma sequência é classificada de progressão quando um certo termo (excetuando-se o primeiro) é igual ao anterior mais (ou vezes) um número fxo, chamado de razão da progressão. As progressão são classificadas de
1. Progressão Aritmética (P.A);2. Progressão Geométrica (P.G)
1. P.A
Veja a sequência (1, 4, 7, 10, 13, …) Prestando atenção, podemos perceber que
4 = 1 +3; 7 = 4 + 3; 10 = 7 + 3; 13 = 10 + 3; … Cada termo pode ser calculado somando-se 3 ao termo anterior. Uma sequência que possui essa propriedade é classificada como progressão aritmética.O valor somado,3, é chamado de razão da progressão, geralmente denotada pela letra r. Essa razão pode ser um número positivo, negativo, ou até mesmo nulo. Nestes casos, as PA’s gerados são classificadas como crescentes, decrescentes e constantes, respectivamente. A PA do nosso exemplo inicial é crescente, pois r = 3 e 3 > 0. Já a PA (8 ,6, 4, 2, …) é decrescente, pois sua razão é igual a -2, e -2 < 0.Para construirmos uma PA, basta termos ou um termo e a razão ou dois termos, a partir dos quais neste caso podemos calcular o valor da razão. Vejamos os exemplos abaixo:
1 – Em uma PA crescente, o quarto termo vale 13 e a razão da PA vale 2. Qual será o valor do oitavo termo? E do segundo termo?
Basta pensarmos que a razão é a variação de um termo para outro. Do quarto termo para o oitavo “andaremos” quatro “casas”, ou seja, avançaremos quatro termos. Assim, devemos multiplicar a razão por 4, e somar 13 ao resultado (pois o quarto termo é igual a 13). Assim, A8 = A4 + 4r = 13 + 4*2 = 21.No segundo caso, queremos calcular o valor do segundo termo. Como do quarto termo para o segundo retrocedemos duas casas, devemos diminuir 13 de 2r. Então A2 = A4 – 2r = 13 – 2*2= 9
2 – Em uma PA, o sétimo termo vale 15 e o segundo vale 2. Qual o primeiro termo da PA?
Para decobrirmos o primeiro termo, devemos saber o valor da razão. Como sabemos o valor de dois termos,´isso será possível. Como? Ora, do segundo para o sétimo termo tivemos uma variação de cinco casas, e o aumento numérico dos termos foi de 13 (15 – 2). Como a razão é a varição de um termo para outro, basta então fazermos uma simples regra de três:
em 5 termos, houve um aumento de 13; em um termo, r
13 ———> 5r ———-> 1 então r = 13/5
Então o primeiro termo pode ser calculado por A1 = A2 – r = 2 – 13/5 = – 3/5.
Mais propriedades de uma P.A:
Para qualquer termo excetuando-se o primeiro e o último (este caso, se a P.A for finita), o valor de tal termo é a média aritmética entre seu antecessor e seu sucessor.
Exemplo: (1, 4, 7, 10,…) –> 4 = (1 + 7)/2; 7 = (4 + 10)/2; etc.
Soma dos n primeiros termos de uma P.A
Vejamos a sequência de números naturais (1,2,3,4,5,6,…), que representa uma P.A, cujo primeiro termo vale 1, e cuja razão vale 1 também.
a) Qual a soma dos seis primeiros termos?
Resp.: vejamos que: 1 + 6 = 7; 2 + 5 = 7; 3 + 4 = 7, i.e., termos equidistantes determinam somas iguais. Como temos seis termos, o total de somas será 6/2 = 3. Como cada soma vale 7, temos que1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 7 * 3 = 21
b) Qual a soma dos 12 primeiros termos?
Resp.: vejamos que 1 + 12 = 2 + 11 = 3 + 10 + 4 + 9 = 5 + 8 = 6 + 7 = 13. Como temos 12 termos, teremos 6 somas, de resultado 13. Então S = (12/2) * 13 = 6 * 13 = 78
No geral, a soma dos n primeiros termos de uma P.A vale S = (A1 + An) * n/2, onde A1 e An são o primeiro e último termo somados, respectivamente, e n é o número de termos somados.
Exemplo: Na PA (2, 5, 8, 11, …), qual será o valor da soma dos 10 primeiros termos?
Resp.: vejamos que a razão vale 5 – 2 = 3, e A1 = 2. Como de A1 para A10 andamos 9 casas, então A10 = 9r + A1 = 9*3 + 2 = 29. Como temos 10 termos, n = 10, e A1 + A10 = 2 = 29 = 31.
Então S = (2 + 29) * 10/2 = 31 * 5 = 155
Obs.: essa fórmula nos serve para somar não apenas do primeiro ao nésimo termo, como também de tal termo até outro.
Exemplo: usando a mesma PA (2,5,8,11,…), qual será a soma do sexto ao décimo segundo termo?
Do sexto ao décimo segundo termo há (12 – 6) + 1 = 7 termos. Somamos um à diferença entre 12 e 6 pois dessa forma estaríamos excluindo o sexto termo; para tê-lo, adicionamos 1. Então n = 7. Falta descobrirmos quanto vale o sexto e o décimo segundo termos. Como o quarto termo é 11, então sexto termo será 11 + 3 + 3 = 17. E o décimo segundo termo? A12 = 6r + A6 = 18 + 17 = 35.
Então S = (17 + 35) * 7/2 = 217.
Exercício: entre 200 e 400, quantos números há que, quando divididos por 11, deixam resto 7?
Resp.: primeiramente, precisamos descobrir qual é o primeiro termo. Dividamos 200 por 11, para começar. A divisão deixa resto 2. Entao 200 + 5 = 205 deixa resto 2 + 5 = 7 quando dividido por 11. Bingo! Achamos o primeiro termo. Como a divisão é sempre por 11, então a razão da P.A. será 11. Como os termos estão entre 200 e 400, precisamos descobrir o último termo. Dividamos 400 por 11. Deixa resto 4, então 400 + 3 = 403 deixa resto 7. Como 403 > 400, então o último termo dessa P.A será 403 – r = 403 – 11 = 392. Quantos termos há? Sabemos que An = (n – 1)*11 + A1, onde An é o último termo. Então 392 = 11(n – 1) + 205.187 = 11(n – 1) —> n – 1 = 17 assim n = 18. ou seja, 392 é o décimo oitavo termo. Assim há 18 números entre 200 e 400 que, quando divididos por 11, deixam resto 7.
Descobrindo quantos termos foram somados
Em uma P.A finita, cujo primeiro termo vale 3 e cuja razão vale 4, a soma dos seus n termos vale 105. Quantos termos tem essa P.A?
Solução: precisamos calcular o último termo. Já temos o primeiro, e a razão, então a(n) = a1 + (n – 1)x4
a(n) = 3 + 4(n – 1) = 3 + 4n – 4 = 4n – 1
S = (a1 + a(n)) x n/2 —> (3 + 4n – 1) x n/2 = (4n + 2) x n/2 = n(2n + 1) = 105
2n^2 + n = 105 —> 2n^2 + n – 105 = 0 [equação do 2º grau]
%delta = 1^2 – 4×2x(-105) = 1 + 840 = 841 —> n = [-1 +- sqrt(841)]/2×2
sqrt(841) = 29, e n deve ser natural, então n = [-1 + 29]/4 = 28 / 4 = 7
Resp.: esta P.A tem 7 termos
Dicas sobre questões com P.A:
Caso a questão diga: três termos estão em PA e sua soma vale x. Então temos três termos, a, b e c. Chamemos b o termo do meio. Então a é anterior a b, e c é posterior. Assim, a = b -r e c = b + r, sendo r a razão da P.A. Ao somarmos os três termos, temos que b + b – r + b + r = 3b –> Como agora só temos uma variável, descobrimos um dos três termos. Se soubermos a razão, descobrimos os outros dois termos; esta artimanha será muito útil quando estudarmos polinômios.
Se tivermos três termos de uma P.A, o termo central é a média aritmética dos outros dois
(1,4,7) –> 4 = 1/2 (1 + 7)
terça-feira, 15 de junho de 2010
Ganhadores do Bolão do 9º E
O placar foi: Brasil 2 x 1 Coreia do Norte
E os ganhadores do bolão do 9º E foram:
11. Gabriela Santos do Nascimento
13. Janderson Souza Silva
25. Stefanny Fernanda dos Santos Kotti
29. Thalita Reis Cruz
30. Thayne de Sá Reis
E os ganhadores do bolão do 9º E foram:
11. Gabriela Santos do Nascimento
13. Janderson Souza Silva
25. Stefanny Fernanda dos Santos Kotti
29. Thalita Reis Cruz
30. Thayne de Sá Reis
domingo, 13 de junho de 2010
Nome da Quadrilha da Manhã
Precisamos que vocês opinem sobre o nome da quadrilha da manhã, composta pelas turmas 9º A, 9º B e 1º A do E. Médio.
Essas são as sugestões:
Essas são as sugestões:
- O Quadrilhation da Manhã
- Os Bafana Bafana do Arrastapé
- Os Loucas do Sertão
Postem um comentário com o nome que você mais gostou até o dia 25 de junho.
1ª Avaliações Parcias de Matemática
1ª Avaliação Parcial de Matemática do 2º Bimestre
Para as turmas do 1º A e B do e. médio
Para as turmas do 1º A e B do e. médio
Conteúdos:
- Funções compostas;
- Funções inversas.
Valor: 2,0
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1ª Avaliação Parcial de Matemática do 2 º Bimestre
Para as turmas do 9º A e B
Conteudos:
- Equaçoes irracionais.
Valor: 1,0
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1ª Avaliação Parcial de Matemática do 2º Bimestre
Para as turdas do 8º B e C
Conteudos:
- Produtos notáveis;
- Fatoração.
valor: 1,5
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